Trabajo Practico Nº 1 - Proposiciones y Conectivos Lógicos

Ejercicio 1: Sean p, q, r y s las siguientes proposiciones#

p: “terminaré mi programa de computación”
q: “está lloviendo”
r: “jugaré al básquet”
s: “iré al cine”

a) Ni terminaré mi programa de computación ni jugaré al básquet#

“No terminaré mi programa de computación y no jugaré al básquet.”

Forma simbólica: $\neg p \land \neg r$

b) Sólo si está lloviendo, iré al cine#

Forma simbólica: $s \rightarrow q$

Nota: “Sólo si q” significa que q es condición necesaria de s.

c) No jugaré al básquet si está lloviendo#

“Si está lloviendo, entonces no jugaré al básquet.”

Forma simbólica:
$q \rightarrow \neg r$

d) Iré al cine o terminaré mi programa y jugaré al básquet#

s: iré al cine

p \land r: terminaré mi programa y jugaré al básquet

Forma simbólica:
$s \lor (p \land r)$

e) No es cierto que está lloviendo#

Forma simbólica: $\neg q$

Ejercicio 2: Dadas las siguientes frases en lenguaje natural, formalícelas como fórmulas del cálculo proposicional y seleccione entre las opciones dadas, la correcta#

a) Un país va bien si y solo si hay crecimiento económico y no hay inflación#

p: El país va bien
q: Hay crecimiento económico
r: Hay inflación

Fórmula: $p \leftrightarrow (q \land \neg r)$

b) “En Argentina hay inflación y no hay crecimiento económico, por lo tanto, Argentina no va bien.”#

s: Hay inflación
t: Hay crecimiento económico
n: Argentina va bien

Fórmula: $(s \land \neg t) \rightarrow \neg n$

Ejercicio 3: Construya la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas y determine si son tautología, contingencias o contradicciones#

a) $(p \rightarrow \neg q) \lor r$ | Contingencia#

$p$	$q$	$r$	$\neg q$	$p \rightarrow \neg q$	$(p \rightarrow \neg q) \lor r$
V	V	V	F	F	V
V	V	F	F	F	F
V	F	V	V	V	V
V	F	F	V	V	V
F	V	V	F	V	V
F	V	F	F	V	V
F	F	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V

b) $[(p \rightarrow q) \land p] \rightarrow q$ | Tautología#

$p$	$q$	$p \rightarrow q$	$(p \rightarrow q) \land p$	$[(p \rightarrow q) \land p] \rightarrow q$
V	V	V	V	V
V	F	F	F	V
F	V	V	F	V
F	F	V	F	V

b) $([(p \rightarrow q) \land p] \rightarrow q)$ | Tautología#

$p$	$q$	$\neg p$	$q \rightarrow \neg p$	$q \land (q \rightarrow \neg p)$	$p \land q$	$\neg (p \land q)$	$\neg p \lor q$	$p \leftrightarrow q$
V	V	F	F	F	V	F	V	V
V	F	F	V	F	F	V	V	F
F	V	V	V	V	F	V	V	V
F	F	V	V	F	F	V	V	F

c) $([q \land (q \rightarrow \neg p)] \rightarrow \neg (p \land q)) \leftrightarrow q$ | Contingencia#

$p$	$r$	$p \rightarrow r$	$r \rightarrow p$	$(p \rightarrow r) \land (r \rightarrow p)$	$\neg[(p \rightarrow r) \land (r \rightarrow p)]$	$p \leftrightarrow r$	$(p \leftrightarrow r) \leftrightarrow \neg[...]$
V	V	V	V	V	F	V	F
V	F	F	V	F	V	F	F
F	V	V	F	F	V	F	F
F	F	V	V	V	F	V	F

e) $(q ∨ (p \land \neg q) \leftrightarrow q ∨ p)$ | Tautología#

$p$	$q$	$\neg q$	$p \land \neg q$	$q ∨ (p \land \neg q)$	$q ∨ p$	$\leftrightarrow$
V	V	F	F	V	V	V
V	F	V	V	V	V	V
F	V	F	F	V	V	V
F	F	V	F	F	F	V

Ejercicio 4: Confeccione la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas e indique si son tautologías, contradicciones o contingencias#

1) $\neg 𝑝 \rightarrow (𝑞 \leftrightarrow 𝑝)$ : Contingencia#

$p$	$q$	$\neg p$	$q \leftrightarrow p$	$\neg p \rightarrow (q \leftrightarrow p)$
V	V	F	V	V
V	F	F	F	V
F	V	V	F	F
F	F	V	V	V

2) $𝑞 \leftrightarrow (\neg𝑝 \lor \neg𝑞)$ : Contingencia#

$p$	$q$	$\neg p$	$\neg q$	$\neg p ∨ \neg q$	$q \leftrightarrow (\neg p ∨ \neg q)$
V	V	F	F	F	F
V	F	F	V	V	F
F	V	V	F	V	V
F	F	V	V	V	F

3) $(𝑝 \veebar 𝑞) \leftrightarrow ( 𝑝 \leftrightarrow 𝑞)$ : Contradicción#

$p$	$q$	$𝑝 \veebar 𝑞$	$𝑝 \leftrightarrow 𝑞$	$(𝑝 \veebar 𝑞) \leftrightarrow ( 𝑝 \leftrightarrow 𝑞)$
V	V	F	V	F
V	F	V	F	F
F	V	V	F	F
F	F	F	V	F

4) $(𝑝 \land (𝑝 ∨ 𝑞) \leftrightarrow 𝑝)$ : Contingencia#

$p$	$q$	$p ∨ q$	$p \land (p ∨ q)$	$[p \land (p ∨ q)] \leftrightarrow p$
V	V	V	V	V
V	F	V	V	V
F	V	V	F	F
F	F	F	F	F

5) $(𝑝 \rightarrow ( 𝑞 \lor \neg 𝑟) \leftrightarrow 𝑝 \land \neg 𝑞 \land 𝑟)$ : Contradicción#

$p$	$q$	$r$	$\neg r$	$q ∨ \neg r$	$p \rightarrow (q ∨ \neg r)$	$\neg q$	$p \land \neg q \land r$	$(p \rightarrow (q ∨ \neg r)) \leftrightarrow (p \land \neg q \land r)$
V	V	V	F	V	V	F	F	F
V	V	F	V	V	V	F	F	F
V	F	V	F	F	F	V	V	F
V	F	F	V	V	V	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F	F	F
F	V	F	V	V	V	F	F	F
F	F	V	F	F	V	V	F	F
F	F	F	V	V	V	V	F	F

Ejercicio 5: Complete la siguiente tabla indicando el valor de verdad solicitado#

a) $(\neg 𝑝 \land 𝑞) \land − 𝑟$ es $V$ #

$p$	$q$	$r$	$\neg p$	$\neg r$	$\neg p \land q$	$(\neg p \land q) \land \neg r$
V	V	V	F	F	F	F
V	V	F	F	V	F	F
V	F	V	F	F	F	F
V	F	F	F	V	F	F
F	V	V	V	F	V	F
F	V	F	V	V	V	V
F	F	V	V	F	F	F
F	F	F	V	V	F	F

$p = F$
$q = V$
$r = F$

b) $p \rightarrow (p \land r)$ es $F$ #

$p$	$r$	$p \land r$	$p \rightarrow (p \land r)$
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	F	V
F	F	F	V

$p = V$
$r = F$

$(\neg(q \lor p))$ : Sabemos que $(p = V)$ y $(q = ?)$ #

$q$	$p$	$q \lor p$	$\neg(q \lor p)$
V	V	V	F
F	V	V	F

$\neg(q \lor p)$ es $F$

Ejercicio 6: Determine el valor de verdad de cada proposición simple p, q y r según corresponda en cada caso#

a) $(𝑝 \land 𝑟) \rightarrow \neg(𝑝 \lor 𝑞)$ es Falsa#

$p = V$

$q = V$ o $F$

$r = V$

$p$	$q$	$r$	$p \land r$	$p \lor q$	$\neg(p \lor q)$	$(p \land r) \rightarrow \neg(p \lor q)$
V	V	V	V	V	F	F
V	V	F	F	V	F	V
V	F	V	V	V	F	F
V	F	F	F	V	F	V
F	V	V	F	V	F	V
F	V	F	F	V	F	V
F	F	V	F	F	V	V
F	F	F	F	F	V	V

b) $𝑝 \rightarrow (∼ 𝑝 \lor 𝑟) \land 𝑞$ es verdadera y el valor de verdad de $p$ es $V$ #

$p = V$

$q = V$

$r = V$

$p$	$q$	$r$	$\neg p$	$(\neg p \lor r)$	$(\neg p \lor r) \land q$	$p \rightarrow (\neg p \lor r) \land q$
V	V	V	F	V	V	V
V	V	F	F	F	F	F
V	F	V	F	V	F	F
V	F	F	F	F	F	F
F	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	V	V	V
F	F	V	V	V	F	V
F	F	F	V	V	F	V

Ejercicio 7: Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique#

a) Si $( 𝑝 \rightarrow 𝑞 )$ es falsa, podemos afirmar que $(\neg 𝑝 \rightarrow t \lor 𝑞)$ es verdadera#

Respuesta: Si, la proposicion es verdadera.

$p$	$q$	$t$	$p \rightarrow q$	$\neg p$	$t \lor q$	$\neg p \rightarrow t \lor q$
V	V	V	V	F	V	V
V	V	F	V	F	V	V
V	F	V	F	F	V	V
V	F	F	F	F	F	V
F	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	V	V	V
F	F	V	V	V	V	V
F	F	F	V	V	F	F

b) Si $(𝑝 \rightarrow 𝑞)$ es verdadera, podemos afirmar que $(\neg 𝑝 \rightarrow t \lor 𝑞)$ es verdadera#

Respuesta: No, no se puede afirmar que sea verdadero.

$p$	$q$	$t$	$p \rightarrow q$	$\neg p$	$t \lor q$	$\neg p \rightarrow t \lor q$
V	V	V	V	F	V	V
V	V	F	V	F	V	V
V	F	V	F	F	V	V
V	F	F	F	F	F	V
F	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	V	V	V
F	F	V	V	V	V	V
F	F	F	V	V	F	F

Ejercicio 1: Sean p, q, r y s las siguientes proposiciones#

a) Ni terminaré mi programa de computación ni jugaré al básquet#

b) Sólo si está lloviendo, iré al cine#

c) No jugaré al básquet si está lloviendo#

d) Iré al cine o terminaré mi programa y jugaré al básquet#

e) No es cierto que está lloviendo#

Ejercicio 2: Dadas las siguientes frases en lenguaje natural, formalícelas como fórmulas del cálculo proposicional y seleccione entre las opciones dadas, la correcta#

a) Un país va bien si y solo si hay crecimiento económico y no hay inflación#

b) “En Argentina hay inflación y no hay crecimiento económico, por lo tanto, Argentina no va bien.”#

Ejercicio 3: Construya la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas y determine si son tautología, contingencias o contradicciones#

a) $(p \rightarrow \neg q) \lor r$ | Contingencia#

b) $[(p \rightarrow q) \land p] \rightarrow q$ | Tautología#

b) $([(p \rightarrow q) \land p] \rightarrow q)$ | Tautología#

c) $([q \land (q \rightarrow \neg p)] \rightarrow \neg (p \land q)) \leftrightarrow q$ | Contingencia#

e) $(q ∨ (p \land \neg q) \leftrightarrow q ∨ p)$ | Tautología#

Ejercicio 4: Confeccione la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas e indique si son tautologías, contradicciones o contingencias#

1) $\neg 𝑝 \rightarrow (𝑞 \leftrightarrow 𝑝)$ : Contingencia#

2) $𝑞 \leftrightarrow (\neg𝑝 \lor \neg𝑞)$ : Contingencia#

3) $(𝑝 \veebar 𝑞) \leftrightarrow ( 𝑝 \leftrightarrow 𝑞)$ : Contradicción#

4) $(𝑝 \land (𝑝 ∨ 𝑞) \leftrightarrow 𝑝)$ : Contingencia#

5) $(𝑝 \rightarrow ( 𝑞 \lor \neg 𝑟) \leftrightarrow 𝑝 \land \neg 𝑞 \land 𝑟)$ : Contradicción#

Ejercicio 5: Complete la siguiente tabla indicando el valor de verdad solicitado#

a) $(\neg 𝑝 \land 𝑞) \land − 𝑟$ es $V$ #

b) $p \rightarrow (p \land r)$ es $F$ #

$(\neg(q \lor p))$ : Sabemos que $(p = V)$ y $(q = ?)$ #

Ejercicio 6: Determine el valor de verdad de cada proposición simple p, q y r según corresponda en cada caso#

a) $(𝑝 \land 𝑟) \rightarrow \neg(𝑝 \lor 𝑞)$ es Falsa#

b) $𝑝 \rightarrow (∼ 𝑝 \lor 𝑟) \land 𝑞$ es verdadera y el valor de verdad de $p$ es $V$ #

Ejercicio 7: Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique#

a) Si $( 𝑝 \rightarrow 𝑞 )$ es falsa, podemos afirmar que $(\neg 𝑝 \rightarrow t \lor 𝑞)$ es verdadera#

b) Si $(𝑝 \rightarrow 𝑞)$ es verdadera, podemos afirmar que $(\neg 𝑝 \rightarrow t \lor 𝑞)$ es verdadera#

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$p$	$q$	$r$	$\neg r$	$q ∨ \neg r$	$p \rightarrow (q ∨ \neg r)$	$\neg q$	$p \land \neg q \land r$	$(p \rightarrow (q ∨ \neg r)) \leftrightarrow (p \land \neg q \land r)$
V	V	V	F	V	V	F	F	F
V	V	F	V	V	V	F	F	F
V	F	V	F	F	F	V	V	F
V	F	F	V	V	V	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F	F	F
F	V	F	V	V	V	F	F	F
F	F	V	F	F	V	V	F	F
F	F	F	V	V	V	V	F	F

$p$	$q$	$r$	$\neg r$	$q ∨ \neg r$	$p \rightarrow (q ∨ \neg r)$	$\neg q$	$p \land \neg q \land r$	$(p \rightarrow (q ∨ \neg r)) \leftrightarrow (p \land \neg q \land r)$
V	V	V	F	V	V	F	F	F
V	V	F	V	V	V	F	F	F
V	F	V	F	F	F	V	V	F
V	F	F	V	V	V	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F	F	F
F	V	F	V	V	V	F	F	F
F	F	V	F	F	V	V	F	F
F	F	F	V	V	V	V	F	F

Ejercicio 1: Sean p, q, r y s las siguientes proposiciones#

a) Ni terminaré mi programa de computación ni jugaré al básquet#

b) Sólo si está lloviendo, iré al cine#

c) No jugaré al básquet si está lloviendo#

d) Iré al cine o terminaré mi programa y jugaré al básquet#

e) No es cierto que está lloviendo#

Ejercicio 2: Dadas las siguientes frases en lenguaje natural, formalícelas como fórmulas del cálculo proposicional y seleccione entre las opciones dadas, la correcta#

a) Un país va bien si y solo si hay crecimiento económico y no hay inflación#

b) “En Argentina hay inflación y no hay crecimiento económico, por lo tanto, Argentina no va bien.”#

Ejercicio 3: Construya la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas y determine si son tautología, contingencias o contradicciones#

a) (p→¬q)∨r(p \rightarrow \neg q) \lor r(p→¬q)∨r | Contingencia#

b) [(p→q)∧p]→q[(p \rightarrow q) \land p] \rightarrow q[(p→q)∧p]→q | Tautología#

b) ([(p→q)∧p]→q)([(p \rightarrow q) \land p] \rightarrow q)([(p→q)∧p]→q) | Tautología#

c) ([q∧(q→¬p)]→¬(p∧q))↔q([q \land (q \rightarrow \neg p)] \rightarrow \neg (p \land q)) \leftrightarrow q([q∧(q→¬p)]→¬(p∧q))↔q | Contingencia#

e) (q∨(p∧¬q)↔q∨p)(q ∨ (p \land \neg q) \leftrightarrow q ∨ p)(q∨(p∧¬q)↔q∨p) | Tautología#

Ejercicio 4: Confeccione la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas e indique si son tautologías, contradicciones o contingencias#

1) ¬𝑝→(𝑞↔𝑝)\neg 𝑝 \rightarrow (𝑞 \leftrightarrow 𝑝)¬p→(q↔p): Contingencia#

2) 𝑞↔(¬𝑝∨¬𝑞)𝑞 \leftrightarrow (\neg𝑝 \lor \neg𝑞)q↔(¬p∨¬q): Contingencia#

3) (𝑝⊻𝑞)↔(𝑝↔𝑞)(𝑝 \veebar 𝑞) \leftrightarrow ( 𝑝 \leftrightarrow 𝑞)(p⊻q)↔(p↔q): Contradicción#

4) (𝑝∧(𝑝∨𝑞)↔𝑝)(𝑝 \land (𝑝 ∨ 𝑞) \leftrightarrow 𝑝)(p∧(p∨q)↔p): Contingencia#

5) (𝑝→(𝑞∨¬𝑟)↔𝑝∧¬𝑞∧𝑟)(𝑝 \rightarrow ( 𝑞 \lor \neg 𝑟) \leftrightarrow 𝑝 \land \neg 𝑞 \land 𝑟)(p→(q∨¬r)↔p∧¬q∧r): Contradicción#

Ejercicio 5: Complete la siguiente tabla indicando el valor de verdad solicitado#

a) (¬𝑝∧𝑞)∧−𝑟(\neg 𝑝 \land 𝑞) \land − 𝑟(¬p∧q)∧−r es VVV#

b) p→(p∧r)p \rightarrow (p \land r)p→(p∧r) es FFF#

(¬(q∨p))(\neg(q \lor p))(¬(q∨p)): Sabemos que (p=V)(p = V)(p=V) y (q=?)(q = ?)(q=?)#

Ejercicio 6: Determine el valor de verdad de cada proposición simple p, q y r según corresponda en cada caso#

a) (𝑝∧𝑟)→¬(𝑝∨𝑞)(𝑝 \land 𝑟) \rightarrow \neg(𝑝 \lor 𝑞)(p∧r)→¬(p∨q) es Falsa#

b) 𝑝→(∼𝑝∨𝑟)∧𝑞𝑝 \rightarrow (∼ 𝑝 \lor 𝑟) \land 𝑞p→(∼p∨r)∧q es verdadera y el valor de verdad de ppp es VVV#

Ejercicio 7: Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique#

a) Si (𝑝→𝑞)( 𝑝 \rightarrow 𝑞 )(p→q) es falsa, podemos afirmar que (¬𝑝→t∨𝑞)(\neg 𝑝 \rightarrow t \lor 𝑞)(¬p→t∨q) es verdadera#

b) Si (𝑝→𝑞)(𝑝 \rightarrow 𝑞)(p→q) es verdadera, podemos afirmar que (¬𝑝→t∨𝑞)(\neg 𝑝 \rightarrow t \lor 𝑞)(¬p→t∨q) es verdadera#

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a) $(p \rightarrow \neg q) \lor r$ | Contingencia#

b) $[(p \rightarrow q) \land p] \rightarrow q$ | Tautología#

b) $([(p \rightarrow q) \land p] \rightarrow q)$ | Tautología#

c) $([q \land (q \rightarrow \neg p)] \rightarrow \neg (p \land q)) \leftrightarrow q$ | Contingencia#

e) $(q ∨ (p \land \neg q) \leftrightarrow q ∨ p)$ | Tautología#

1) $\neg 𝑝 \rightarrow (𝑞 \leftrightarrow 𝑝)$ : Contingencia#

2) $𝑞 \leftrightarrow (\neg𝑝 \lor \neg𝑞)$ : Contingencia#

3) $(𝑝 \veebar 𝑞) \leftrightarrow ( 𝑝 \leftrightarrow 𝑞)$ : Contradicción#

4) $(𝑝 \land (𝑝 ∨ 𝑞) \leftrightarrow 𝑝)$ : Contingencia#

5) $(𝑝 \rightarrow ( 𝑞 \lor \neg 𝑟) \leftrightarrow 𝑝 \land \neg 𝑞 \land 𝑟)$ : Contradicción#

a) $(\neg 𝑝 \land 𝑞) \land − 𝑟$ es $V$ #

b) $p \rightarrow (p \land r)$ es $F$ #

$(\neg(q \lor p))$ : Sabemos que $(p = V)$ y $(q = ?)$ #

a) $(𝑝 \land 𝑟) \rightarrow \neg(𝑝 \lor 𝑞)$ es Falsa#

b) $𝑝 \rightarrow (∼ 𝑝 \lor 𝑟) \land 𝑞$ es verdadera y el valor de verdad de $p$ es $V$ #

a) Si $( 𝑝 \rightarrow 𝑞 )$ es falsa, podemos afirmar que $(\neg 𝑝 \rightarrow t \lor 𝑞)$ es verdadera#

b) Si $(𝑝 \rightarrow 𝑞)$ es verdadera, podemos afirmar que $(\neg 𝑝 \rightarrow t \lor 𝑞)$ es verdadera#

$p$	$q$	$r$	$\neg r$	$q ∨ \neg r$	$p \rightarrow (q ∨ \neg r)$	$\neg q$	$p \land \neg q \land r$	$(p \rightarrow (q ∨ \neg r)) \leftrightarrow (p \land \neg q \land r)$
V	V	V	F	V	V	F	F	F
V	V	F	V	V	V	F	F	F
V	F	V	F	F	F	V	V	F
V	F	F	V	V	V	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F	F	F
F	V	F	V	V	V	F	F	F
F	F	V	F	F	V	V	F	F
F	F	F	V	V	V	V	F	F